喝的水是經(jīng)過(guò)水表里流出來(lái)的嗎

是的。

       地表水進(jìn)入水庫，水庫經(jīng)由引水渠流向自來(lái)水廠(chǎng)，在水廠(chǎng)完成消毒后流入地下自來(lái)水管網(wǎng)，最后管網(wǎng)接入各個(gè)小區，在水泵水箱的協(xié)作下，經(jīng)過(guò)水表后從水龍頭流出來(lái)。

       毛細血管般的供水管網(wǎng)將連通各個(gè)小區。管網(wǎng)末端的水壓可以將水送到米左右的高度，而更高的樓層則需要需要小區物業(yè)配置水箱，通過(guò)水泵二次加壓，使之能輸送到高層。這些設施需要經(jīng)過(guò)自來(lái)水公司的驗收和測試，才能辦理立戶(hù)手續，安裝計費水表，正式供水。有的家中會(huì )安裝凈水機，凈水機出來(lái)的水就可以直接飲用了。如果沒(méi)有凈水機，則需要燒開(kāi)后飲用。

“流水素面”傳到中國以后為何沒(méi)人愿意吃？

        流水素面，顧名思義就是和流水有關(guān)的面，大家都知道日本在飲食方面，和我們中國多多少少都會(huì )有一些差距。就好比如在日本很火的流水素面，它的結構基本上就是一個(gè)類(lèi)似水渠的東西，有水從上面流下來(lái)。然后消費者分別在站在水渠的兩側，用筷子去夾從上游流下來(lái)的面。

       一般情況下這種面都是素面，流下來(lái)的過(guò)程中面也已經(jīng)涼了，這時(shí)候兩邊的消費者就可以把面夾進(jìn)自己裝滿(mǎn)調料的碗里面。然后就可以直接吃了，其實(shí)這根面不見(jiàn)得有多好吃，很多日本人也是這么說(shuō)的。

       他們說(shuō)這種吃面的方式之所以火，就是因為當地人都喜歡這種氛圍，大家圍在一起吃面有說(shuō)有笑的。而且這種吃面的方式算是比較新穎的，日本人都喜歡去嘗試一些新的東西，因此流水面出來(lái)之后，很快就紅遍了日本。

       但是讓人感到不能理解的是，火遍日本的流水素面，傳入中國后卻默默無(wú)聞，很多人別說(shuō)去吃了， 就連聽(tīng)都還沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)。而且很多吃貨還表示太臟了，這又是因為什么呢？

       很多人可能是這樣想的，上游的人他筷子上肯定會(huì )沾一些口水，而在夾面的過(guò)程中?？谒隙ň蜁?huì )沿著(zhù)水渠流下來(lái)，這樣下游的人就會(huì )接觸到在上游人的口水。很多人都擔心上面的人，萬(wàn)一他們的身體有什么問(wèn)題，那下面的人豈不是很危險？

       其實(shí)在我看來(lái)這種擔心完全就是多余的，為什么這么說(shuō)呢？因為我們平時(shí)吃飯的時(shí)候，基本上也是一起在碗里面夾。這樣對方的口水多多少少也會(huì )留在碗里，但即使這樣我們吃了這么多年，也沒(méi)發(fā)現有什么問(wèn)題，所以說(shuō)這完全是沒(méi)有必要的擔心。

       其次流水素面有水一直在沖下去，這樣反而會(huì )干凈很多。像我們那種傳統的吃飯方式，里面的湯汁是一直靜置。所以說(shuō)里面會(huì )有更多的口水，不過(guò)話(huà)又說(shuō)回來(lái)，一般情況下是沒(méi)有問(wèn)題的。畢竟我們這么吃了幾百年，也不見(jiàn)發(fā)生什么事情。

       對此有的網(wǎng)友說(shuō)：這種面也就是在日本才能火，主要是我想不通這樣吃有什么好處，說(shuō)氛圍好像也沒(méi)有什么氛圍大家離的那么遠。

是想寫(xiě)一篇數學(xué)建模論文。題目是“水渠流量的設計” 1某地計劃修一條水渠，使水渠流量最大.

       本題主要目的是建立相關(guān)模型解決在修建水渠過(guò)程中的諸多問(wèn)題，從而實(shí)現

       工程量最優(yōu)化。

       針對問(wèn)題一，為了求得開(kāi)掘水渠的土石方量，本文通過(guò)對比分段三次

       Hermite 插值與三次樣條插值，最終采用分段三次 Hermite 插值的方法對已知數 據點(diǎn)進(jìn)行插值擬合，得到關(guān)于水渠的曲線(xiàn)方程 y f x ，對水渠曲線(xiàn)方程積分即

       得到水渠長(cháng)度 dx yL ,利用 MATLAB 求解得到水渠長(cháng)度為： m 5. 。

       因此最終解得開(kāi)掘水渠的總土石方量為： 3 mLSV 。

       針對問(wèn)題二，在問(wèn)題一的基礎上，本文建立積分上限函數模型：令 a ，

       1x 滿(mǎn)足 1 2 1

       6

       x

       a

       V

       S y dt ，求出 i x 后， 1 ix 滿(mǎn)足 1 2 1

       6

       i

       i

       x

       x

       V

       S y dt ，從而將

       總土石方量的六等分，得到 7 .x 1 ， 2 .x 2 ， x3 ， x4 ，

       x 5 ，進(jìn)而確定了六等分點(diǎn)的坐標 y,x 。

       針對問(wèn)題三，設在沿水渠的公路上有三個(gè)變量，分別為 k ji x ,x,x ，為使得

       運輸工作量最小，本文建立了無(wú)約束規劃模型，利用 MATLAB 求解得到最小運輸

       量為 4 .7 m 。并給出了修建兩條公路時(shí)水渠上的位置坐標 7.,B 和 4.C ， 。

       關(guān)鍵詞：Hermite 插值 MATLAB 積分上限函數 無(wú)約束規劃

       一、問(wèn)題重述

       在某地區開(kāi)掘水渠，已知該水渠經(jīng)過(guò)的若干點(diǎn)。

       問(wèn)題一，求解水渠施工的總石方量；

       問(wèn)題二，如果將水渠的分成 6 截，每截土石方量相同，分段點(diǎn)應該取在何位

       置；

       問(wèn)題三，設平行于水渠修一條路。河道中挖出的土石方要運往 A(,)

       處為了方便運輸，計劃在沿水渠的公路上選擇兩點(diǎn)修建通往 A 處的臨時(shí)公路，使

       得總的土石方運輸工作量最小。

       二、問(wèn)題的分析

       針對問(wèn)題一，本題要求開(kāi)掘水渠的總土石方量，已知水渠截面積，則主要目

       的在于求得水渠長(cháng)度。已知水渠經(jīng)過(guò)的若干點(diǎn)的位置，要得到水渠的長(cháng)度，本文

       想到用插值擬合可以得到水渠曲線(xiàn)，對曲線(xiàn)積分則得到水渠長(cháng)度。插值與擬合的

       方法有多種，樣條插值會(huì )較光滑，但不一定能保持原有形狀，考慮到要更好的保

       持水渠的形狀，于是，本文選用 Hermite 方法進(jìn)行插值擬合。

       針對問(wèn)題二， 要將水渠六等分且每段的土石方量相同，此問(wèn)題為函數的反

       解問(wèn)題，因此，在已知水渠曲線(xiàn)函數的情況下，本文可以考慮到用積分上限函數

       求解，從而確定 x 點(diǎn)，進(jìn)而得到 y 點(diǎn)。

       針對問(wèn)題三，要修建公路以運輸土石方，從而使運輸量工作量最小。此問(wèn)題

       為規劃問(wèn)題，在問(wèn)題二中，本文已知 x 與土石方量 V 存在關(guān)系，又因為運輸工作

       量等于土石方量與距離的乘積，因此，本文使用無(wú)約束規劃模型，求工作量最小

       值即可。

       三、模型假設

       1、修建的兩條臨時(shí)公路為直線(xiàn)。

       2、沿水渠的公路函數曲線(xiàn)近似與水渠的曲線(xiàn)函數相同。

       四、符號說(shuō)明 xf 水渠曲線(xiàn)方程

       V 土石方量

       S 水渠截面積 L 水渠長(cháng)度

       ix 水渠上點(diǎn)的橫坐標

       iy 水渠上點(diǎn)的縱坐標

       iW 土石方運輸工作量

       1L 臨時(shí)公路 2L 臨時(shí)公路

       五、模型的建立與求解

       5.1 問(wèn)題一

       5.1.1 插值與擬合

       由已知水渠經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，做出散點(diǎn)圖（圖 1）

       0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x 4

       X/m

       Y/m

       水渠散點(diǎn)圖

       圖 1.水渠散點(diǎn)圖

       方法 1、利用 Hermite 方法對已知數據點(diǎn)進(jìn)行插值。 3 設 已 知 函 數 xfy 在 1 n 個(gè)互異節點(diǎn) n x ,L,x,x 上 的 函 數 值 ii xfy n,L,1,0i 和導數值 i ' i ' x fy ，要求一個(gè)至多 2 n +1 次的多項 式 xH ，使得 i i yxH i ' i ' y xH n,1,0i Hermite 插值多項式為： 2 ' i i i i i i H x h x x a y y y

       其中，

       2

       n

       ij 0j j i

       j i x x xx h ， n ij 0j j i i x x 1 a 。

       利用 MATLAB 進(jìn)行插值，得到插值曲線(xiàn)（圖 2）。

       0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x 4

       Hermite插值曲線(xiàn)與原始數據點(diǎn)

       X/m

       Y/m

       Hermite插值曲線(xiàn) 原始數據點(diǎn)

       圖 2.Hermite 插值曲線(xiàn)與原始數據點(diǎn)

       方法 2、利用樣條差值對已知數據點(diǎn)進(jìn)行插值。 3

       定義樣條函數：

       數學(xué)上將具有一定光滑性的分段多項式稱(chēng)為樣條函數。具體的說(shuō)，給定區間 a,b 的一個(gè)劃分

       0 1 1nn :a x x x x b

       如果函數 () sx滿(mǎn)足： 1. 在每個(gè)小區間 1 , ( 0,1, , 1) ii x x i n 上 () sx是k 次多項式；

       2. () sx在 a,b 上具有 1 k 階連續導數。

       則稱(chēng) () sx為關(guān)于劃分的k 次樣條函數，其圖形稱(chēng)為k 次樣條曲線(xiàn)。 , , , n x x x 稱(chēng)

       為樣條節點(diǎn)， 1 2 1 , , , n x x x 稱(chēng)為內節點(diǎn)， 0, n xx稱(chēng)為邊界點(diǎn)，這樣樣條函數的全體

       記作 ( , ) p Sk ，稱(chēng)為k 次樣條函數空間。

       顯然，折線(xiàn)是一次樣條曲線(xiàn)。

       若 ( ) ( , ) p s x S k ，則 () sx是關(guān)于分劃的k 次多項式樣條函數。k 次多項式

       樣條函數的一般形式為

       1

        ( ) ( ) !! i kn j ki kj ij x s x x x ik

       其中 ( 0,1, , ) i ik 和 ( 1,2, , 1) j jn 均為任意常數，而

       ( ) , ( ) , ( 1,2, , 1) 0, k jjk j j x x x x x x j n xx 本文使用 3 k 的情況：即為三次樣條函數。 三次樣條函數：對于 a,b 上的劃分 0 1 1nn :a x x x x b ，則

       1 2 3 3

       3 0 1

       1 ( ) ( ) ( ,3) 2! 3! 3! n j jp j aa s x x x x x x S

       其中

       3 3 ( ) , ( ) , ( 1,2, , 1) 0, jj j j x x x x x x j n xx

       三次樣條函數差值：

       由于 3( ) ( ,3) ps x S中含有 3 n 個(gè)待定系數，故應需要 3 n 個(gè)插值條件，已

       知插值節點(diǎn) i x 和相應的函數值 ( ) ( 0,1,2, , ) ii f x y i n ，這里提供了 1 n 個(gè)條件，

       還需要 2 個(gè)邊界條件。

       常用的三次樣條函數的邊界條件有 3 中類(lèi)型：

       （1） 3 0 3 ( ) , ( ) n s a y s b y 。由這中邊界條件建立的樣條插值函數稱(chēng)為 () fx的

       完備三次樣條插值函數。

       特別的， 0'0 n yy 時(shí)，樣條曲線(xiàn)在端點(diǎn)處呈水平狀態(tài)。

       如果 () fx 不知道，可以要求 3() sx 與 () fx 在端點(diǎn)處近似相等。這時(shí)以

       0 1 2 3 , , , x x x x 為節點(diǎn)作一個(gè)三次 Newton 插值多項式 () a Nx，以 1 2 3 , , , n n n n x x x x 作一

       個(gè)三次 Newton 插值多項式 () b Nx，要求

       ( ) ( ), ( ) ( ) ab s a N a s b N b

       由這種邊界條件建立的三次樣條稱(chēng)為 () fx的 Lagrange 三次樣條插值函數。

       （2） 3 0 3 3 ( ) , ( ) s a y s b y 。特別的 0 nn yy 時(shí)，稱(chēng)為自然邊界條件。

       （3） 3 3 3 3 ( 0) ( 0), ( 0) ( 0) s a s b s a s b ，（這里要求 ( 0) ( 0) s a s b ）

       此條件稱(chēng)為周期條件。

       利用 MATLAB 進(jìn)行三次樣條插值，得到插值曲線(xiàn)（圖 3）。

       0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x 4

       X/m

       Y/m

       三次樣條插值曲線(xiàn)與原始數據點(diǎn)

       三次樣條插值曲線(xiàn) 原始數據點(diǎn)

       圖 3.三次樣條插值曲線(xiàn)與原始數據點(diǎn)

       Hermite 插值與三次樣條插值的對比

       5

       :

       SPLINE 提供的函數 s(x)的構建方法和 PCHIP 里面的函數 p(x)完全相同，只

       O x

       y

       0 AM

       1M

       2M

       1nM

       n BM

       圖 4

       不過(guò)在 X(j)處的斜率的選擇方法不一樣，

       SPLINE 函數的 s(x)在 X(j)的二階導數 D^2s(x)也是連續的，這導致了如下

       結果：

       （1） SPLINE 更加光滑，即，D^2s(x)是連續的。

       （2） 如果數據是一個(gè)光滑函數的值，則 SPLINE 更加精確。

       （3） 如果數據不是光滑的，則 PCHIP 沒(méi)有 overshoots，也不太震蕩。

       （4） PCHIP 建立的難度較小。

       （5） 這兩種函數估計的難度是一樣的。

       三次樣條比 Hermite 插值光滑，樣條的兩階導數連續，而 Hermite 插值一階

       導數連續。不連續的兩階導數隱含著(zhù)不連續的曲率。人的眼睛可以檢測出圖形上

       曲率的不連續。另一方面，Hermite 插值是保形狀的，而樣條插值不一定保形狀。

       通過(guò)對比 Hermite 插值與三次樣條插值，針對本題并無(wú)明顯差異。為了更好

       的保證圖形形狀，減小誤差，本文采用 Hermite 插值。

       5.1.2 求解水渠長(cháng)度

       圓的周長(cháng)可以利用圓的內接正多邊形的周長(cháng)當邊數無(wú)限增多時(shí)的極限確定。

       類(lèi)似的方法，可以用來(lái)建立平面連續曲線(xiàn)的弧長(cháng)，應用定積分來(lái)計算弧長(cháng)。

       設 AB 、 是曲線(xiàn)弧的兩個(gè)端點(diǎn)。在弧 AB 上以此取分點(diǎn)：

       0 1 2 1 1 , , , , , , , , i i n n A M M M M M M M B ，并以此連接相鄰分點(diǎn)得一折線(xiàn)（圖

       4）。

       當分點(diǎn)的數目無(wú)限增加且每小段 1ii MM 都縮向一點(diǎn)時(shí)，如果此折線(xiàn)的長(cháng)

       1

       1

       n

       ii

       i

       MM 的極限存在，則稱(chēng)此極限為曲線(xiàn)弧 AB 的弧長(cháng)，并稱(chēng)此曲線(xiàn)弧 AB 是

       可求長(cháng)的。

       由于光滑曲線(xiàn)弧是可求長(cháng)的，故可應用定積分來(lái)計算弧長(cháng)。

       設曲線(xiàn)弧由參數方程：

        () , () xt t yt

       給出，其中 ( ), ( ) tt 在 ,

       上具有連續導數，且 ( ) ( ) tt 、 不同時(shí)為零，現計

       算該曲線(xiàn)弧的長(cháng)度。 取參數t為積分變量，它的變化區間為 ,

       。相應于 ,

       上任一小區間

        , t t dt 的小弧段的長(cháng)度 s 近似等于對應的弦的長(cháng)度 ( ) ( ) xy ，因為

       ( ) ( ) ( ) x t dt t dx t dt

       ( ) ( ) ( ) y t dt t dy t dt

       所以， s 的近似值（弧微分）即弧長(cháng)元素為

       2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ds dx dy t dt t dt t t dt

       于是所求弧長(cháng)為

        ( ) ( ) s t t dt

       當曲線(xiàn)弧由直角坐標方程

       ( ) ( ) y f x a x b

       給出，其中 () fx在 , ab上具有一階連續導數，這時(shí)曲線(xiàn)弧由參數方程

       ()

       () xx

       a x b

       y f x

       從而所求的弧長(cháng)為

       b a s y dx

       利用插值后得到的水渠的曲線(xiàn)函數，對其進(jìn)行積分，則為水渠長(cháng)度。 dx yL 用 MATLAB 求解得到 m 5.L

       5.1.3 求解土石方量

       已知，水渠長(cháng)度，水渠截面積。

       則：

        2 mS

       3mLSV

       5.2 問(wèn)題二

       設函數 () fx在區間 , ab上連續，并且設x為 , ab上的一點(diǎn)。觀(guān)察 () fx在部 分區間 , ax上的定積分

       ()

       x

       a f x dx

       首先，由于 () fx在 , ax上依舊連續，因此該定積分存在。這里，x即表示

       定積分的上限，又表示積分變量。因為定積分與積分變量的記號無(wú)關(guān)，所以，為

       了明確起見(jiàn)，可以吧積分變量改用其他符號，例如用t表示，則上面的定積分可

       以寫(xiě)成

       ()

       x

       a f t dt

       如果上限x在區間 , ab上任意變動(dòng)，則對于每一個(gè)取定的x值，定積分有一 個(gè)對應值，所以它在 , ab上定義了一個(gè)函數，記作 () x ：

       ( ) ( ) ( ) x a x f t dt a x b

       () x 便為積分上限函數。

       本文針對問(wèn)題二建立積分上限函數模型：

       6

       x

       a

       V

       S y dt 通過(guò)起點(diǎn)a作為積分下限，求得第一個(gè)積分上限，即第一個(gè)等分點(diǎn)，第一個(gè)

       等分點(diǎn)為積分下限，求得第二個(gè)積分上限，即第二個(gè)等分點(diǎn)，以此類(lèi)推。改變積

       分上下限，確定5個(gè)等分點(diǎn)，將水渠六等分，且每段土石方量相同。

       利用 MATLAB 求解（見(jiàn)附錄 8.2），得到等分點(diǎn)坐標為： 4.,7. ， 2.,2. ， 6. ， ， 2., ， ,

       且每段的土石方量為： 3 m8.

       5.3 問(wèn)題三 由問(wèn)題二知土石方量 V 與水渠曲線(xiàn)函數存在關(guān)系。首先建立 xFV 模型。

       設在沿水渠的公路上有三個(gè)變量為 k ji x ,x,x ，修建的臨時(shí)公路需要保證運輸工

       作量最小，因此，在 D 點(diǎn)左邊開(kāi)掘水渠的土石方均運到 B 處，在 D 右邊開(kāi)掘水渠

       的土石方都運往 C 處。最終將土石方由 B、C 兩處運往 A 處（示意圖見(jiàn)圖4）

       y = f(x)

       （xk）

       （xj）D

       （xi）

       L2

       L1

       A

       C

       B

       圖4.水渠臨時(shí)公路修建示意圖

       運輸工作量等于土石方量乘以距離，因此對于水渠曲線(xiàn)上的運輸工作量本文

       建立的模型為：

       以 i 0 x ~x 段為例，設：該段水渠長(cháng)度為

       n L L,L i 0 i0

       ，該段土石方量為

       n SL

       n V V,V i 0i0 i0

       ，

       則：

       )LnL(V)L2L(V)LL(VW i0i0i0i0

       )n(LVVLn i0

       n2 1n

       LV

       當 i 0 i 0 x x

       2

       x

       x

       2 i0 dx y1dxy1S 2 1 LV 2 1 W,n

       同理可得 1 kjkij W,W,W

       則：

       ijikjk1 WWWWW

        2 2 2 2 1 1 1 1 kk j j k k xx x x x x S y dx y dx S y dx y dx j i j i ii x x 2x x 2x 2x 2 dx y1dxy1S 2 1 dxy1dxy1S 2 1 對于由 B、C 兩點(diǎn)運往 A 處的運輸工作量本文建立的模型為：

        2 0k 2 0k x 0i 2 0i

       x

       2 2 y yxxdxy1Syyxxdxy1SW

       j

       j

        要使運輸工作量最小，即 1 W 、 2 W 之和達到最小，因此，本文建立無(wú)約束規

       劃模型： kji2kji1 x,x,xWx,x,xWMin

       即：

        2 0i 2 0i x 2 2x x 2 2x 2 y yxxdxy1dxy1 2 1 dxy1 2 1 Min j j i i

        2 0k 2 0k x 2 x 2 2 x x 2 y yxxdxy1dxy1 2 1 dxy1 2 1 jk k j

       運用 MATLAB 求解得：（程序代碼見(jiàn)附錄 8.3）

       最小運輸工作量為： 4 .7 m B、C 兩點(diǎn)的坐標為： 7.,B 和 4.C ， 。

       六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)

       優(yōu)點(diǎn)：

       1、 通過(guò)對比 Hermite 插值與三次樣條插值，發(fā)現求得的水渠長(cháng)度分

       別為 .5m 和 .1m，對本題無(wú)明顯差異。

       2、 對于運輸量的規劃問(wèn)題，準確的反應了最優(yōu)解。

       缺點(diǎn)：

       1、 對于插值函數的曲線(xiàn)積分，近似了曲線(xiàn)的導數，存在一定誤差。

       2、 規劃問(wèn)題的運算量較大。利用 MATLAB 算法優(yōu)勢不明顯。